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王國維在《人間詞話》中提出：“詞以境界為最上。有境界自成高格，自有名句?！彼f：“有造境，有寫境，此‘理想’與‘寫實(shí)’二派之所由分。”按我理解，“造境”是以意念和想象為境，“寫境”是描寫現(xiàn)實(shí)的景物。王國維還把藝術(shù)家分為“寫實(shí)家”和“理想家”，并認(rèn)為這兩者是相通的。他還寫道：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之。出乎其外，故能觀之。入乎其內(nèi)，故有生氣。出乎其外，故有高致?！?/p>

數(shù)學(xué)家維納說：“數(shù)學(xué)是一門精美的藝術(shù)”。我認(rèn)為，數(shù)學(xué)如同詩歌，評價(jià)一項(xiàng)數(shù)學(xué)成就，也應(yīng)以境界為上。數(shù)學(xué)上也有“造境”與“寫境”之分，前者是“創(chuàng)造理論”，后者是“解決難題”。數(shù)學(xué)家也有“寫實(shí)家”和“理想家”之分，前者是“入乎其內(nèi)”，側(cè)重應(yīng)用數(shù)學(xué)；后者是“出乎其外”，側(cè)重純粹數(shù)學(xué)，但兩者是互通的。

數(shù)學(xué)與詩歌有許多共性，下面歸納為八點(diǎn)。

第一，數(shù)學(xué)和詩歌的源泉都是自然和社會。數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“對自然的深入研究是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的源泉?！?/p>

第二，數(shù)學(xué)和詩歌都追求和諧與簡潔。詩歌是力圖通過簡潔的語言和韻律，抒發(fā)詩人的情懷，表達(dá)深邃的哲理。數(shù)學(xué)的和諧是不言而喻的。至于數(shù)學(xué)的簡潔，一方面數(shù)學(xué)結(jié)果是通過簡明的命題或定理的形式來表述的；另一方面，在研究過程中，數(shù)學(xué)家追求在較少條件下推出盡可能廣泛而深刻的結(jié)論，或者力圖簡化已有結(jié)果的證明。

第三，數(shù)學(xué)中的“對偶”與詩詞中的“對仗”是異曲同工。詩詞中的“對仗”能使意境更加優(yōu)美，抒情更加感人，哲理更加深邃。數(shù)學(xué)中的“對偶”使得數(shù)學(xué)理論變得更加深刻，更加優(yōu)美。數(shù)學(xué)中的“對偶”不只是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和框架，而且是一種思維方式，也是重要的證明工具和技巧。

第四，數(shù)學(xué)和詩歌的創(chuàng)作都需要直覺和想象力。所謂直覺，就是沒有經(jīng)過意識推理而對某事物產(chǎn)生的理解和判斷。當(dāng)然，任何科學(xué)和藝術(shù)的創(chuàng)作都需要直覺和想象力，但數(shù)學(xué)和詩歌更為突出。例如，李白《望廬山瀑布》中詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”就極富直覺和想象。這種直覺和想象是源于詩人的形象思維。數(shù)學(xué)史家克萊因說：“在預(yù)測能被證明的內(nèi)容時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺和想象。”法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊認(rèn)為：“我們靠邏輯來證明，但要靠直覺來發(fā)明?！边@里的“發(fā)明”就是指提出問題和構(gòu)思證明的方法。

第五，詩歌創(chuàng)作和數(shù)學(xué)研究都需要激情和靈感。詩人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把內(nèi)心情感宣泄出來，作品才能打動人和感染人。對數(shù)學(xué)研究來說，激情來自于探求未知真理的好奇和對美的追求。靈感也叫頓悟，它是一種近乎無意識或潛意識的非邏輯式的創(chuàng)造性思維活動。靈感是對某一問題長期思考以后突然產(chǎn)生的思想火花，有時(shí)產(chǎn)生于全神貫注思考問題之際，有時(shí)卻是在不經(jīng)意間或意識蒙朧之中。靈感有時(shí)也來源于對不同現(xiàn)象的類比和聯(lián)想。

第六，數(shù)學(xué)研究和詩歌創(chuàng)作都需要有美感。法國數(shù)學(xué)家龐加萊在《數(shù)學(xué)創(chuàng)造》一文中形象地描述了數(shù)學(xué)美感在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的作用，他說：“各種數(shù)學(xué)概念在潛意識里碰撞組合，數(shù)學(xué)直覺從中篩選有意義的組合，進(jìn)而進(jìn)行創(chuàng)造。……潛意識做出選擇時(shí)，所用的標(biāo)準(zhǔn)便是數(shù)學(xué)的美感，數(shù)和形的和諧感，幾何學(xué)的雅致感。”數(shù)學(xué)史家克萊因認(rèn)為：“進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要驅(qū)動力是對美的追求?！?/p>

第七，“創(chuàng)新”是數(shù)學(xué)和詩歌的共同美學(xué)準(zhǔn)則（即評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)）。藝術(shù)家把“創(chuàng)新”叫作藝術(shù)風(fēng)格。例如，李白的詩“豪邁奔放，飄逸若仙”，是浪漫主義風(fēng)格；杜甫的詩則“深沉蘊(yùn)蓄，抑揚(yáng)曲折”，是現(xiàn)實(shí)主義風(fēng)格。對數(shù)學(xué)研究而言，創(chuàng)新必須是在一定科學(xué)范圍內(nèi)有比較重要的意義。

第八，數(shù)學(xué)和詩歌的另一共同美學(xué)準(zhǔn)則就是《人間詞話》中所說的“境界為上”。數(shù)學(xué)的境界包括：1）大道至簡，大美天成；2）簡潔、和諧、對稱、雅致；3）顛覆性的創(chuàng)新；4）交叉、融合、統(tǒng)一。

下面舉幾個(gè)高境界的數(shù)學(xué)例子。首先是兩個(gè)美妙的數(shù)學(xué)公式。一是歐拉公式eiπ+1=0，它把數(shù)學(xué)里面最基本的幾個(gè)要素全都整合在一塊了，其中1是自然數(shù)的單位，0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，e是自然對數(shù)的底，π是圓周率，i是虛數(shù)單位。二是歐拉公式V+F-E=2，公式表明：任何一個(gè)簡單凸多面體，它的頂點(diǎn)數(shù)V加上面數(shù)F，減去棱數(shù)E必定等于2。這兩個(gè)歐拉公式堪稱“大道至簡、大美天成”的數(shù)學(xué)公式。

數(shù)論中的三個(gè)著名猜想：“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶數(shù)可以表為兩個(gè)素?cái)?shù)之和）、“孿生數(shù)猜想”（存在無窮多對素?cái)?shù)其差等于2）和“黎曼猜想”（黎曼ζ函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面中實(shí)部為1/2的直線上），更是高境界數(shù)學(xué)的例子，盡管它們都還沒有得到證明。又如龐加萊猜想、費(fèi)爾馬大定理、四色定理、伽羅瓦群論、黎曼幾何、哥德爾不完備定理、伊藤清的隨機(jī)分析、香農(nóng)信息論等，這些都是屬于“簡潔、和諧、對稱、雅致”高境界數(shù)學(xué)的例子。

20世紀(jì)50、60年代，格羅滕迪克對代數(shù)幾何進(jìn)行了徹底的革命，建立了“概形理論”，堪稱一項(xiàng)顛覆性的創(chuàng)新。他因此于1966年獲得菲爾茲獎。在概形理論基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家們?nèi)〉昧艘幌盗薪艹龀删停?973年，德利涅證明了韋伊猜想（1978年獲菲爾茲獎）； 1983年，法爾廷斯證明了莫德爾猜想（1986年獲菲爾茲獎）；1995年，懷爾斯證明了費(fèi)馬大定理（1996年獲菲爾茲特別獎）。

關(guān)于“交叉、融合、統(tǒng)一”這一數(shù)學(xué)境界，我舉兩個(gè)例子。其一是Atiyah-Singer指標(biāo)定理：緊流形上的橢圓偏微分算子的解析指標(biāo)（與解空間的維度相關(guān)）等于拓?fù)渲笜?biāo)（決定于流形的拓?fù)湫誀睿?。其二是朗蘭茲綱領(lǐng)，它是將數(shù)學(xué)中某些表面上毫不相干的領(lǐng)域（數(shù)論、代數(shù)幾何與約化群表示理論）建立一種本質(zhì)聯(lián)系的構(gòu)想。綱領(lǐng)是由朗蘭茲在1967年給韋伊的一封信件中提出的。法籍越南數(shù)學(xué)家吳寶珠因證明朗蘭茲綱領(lǐng)基本引理獲得了2010年菲爾茲獎，朗蘭茲本人獲2018年度阿貝爾獎（編者注：為紀(jì)念挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾設(shè)立的數(shù)學(xué)獎，每年頒發(fā)一次）。

我本人是研究概率論與隨機(jī)分析的。我曾試圖用詩歌來解析我的專業(yè)內(nèi)涵，寫過一首“悟道詩”：

隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)。

無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離。

下面是我的另一首有關(guān)概率論的科學(xué)詩《隨機(jī)與概率》，希望能引起大家對概率論的關(guān)注和興趣。

隨機(jī)與概率

熙熙人群朋友不期而遇，茫茫宇宙隕星意外撞擊。

隨機(jī)事件發(fā)生并非隨意，概率破解其中奧秘玄機(jī)。

情境重復(fù)催生稀有事件，歷史長河沉淀自然奇跡。

同班同學(xué)常有生日相同，彩民兩次中獎并不神奇。

抵押貸款房產(chǎn)汽車按揭，精巧設(shè)計(jì)需要借助概率。

保費(fèi)計(jì)算基于概率模型，期權(quán)定價(jià)有賴隨機(jī)分析。

概率技巧有助破解密碼，人工智能需用概率邏輯。

日常生活常遇概率問題，學(xué)點(diǎn)概率知識終身受益。

（作者：嚴(yán)加安，系中國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員）