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歐拉公式（BEE）是很多數(shù)學(xué)方向的根基，而二進(jìn)制是計(jì)算機(jī)理解人類世界的語言。近日，美國北卡羅來納大學(xué)教堂山分校副教授張凱、天普大學(xué)副教授趙志根以及科羅拉多州立大學(xué)副教授周文，利用對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量的二進(jìn)制逼近，在數(shù)據(jù)科學(xué)中對(duì)這兩個(gè)經(jīng)典理論做了結(jié)合和創(chuàng)新，特別是為均勻性檢測以及隨機(jī)向量的獨(dú)立性檢測提供了一個(gè)全新的非參數(shù)理論框架，并將現(xiàn)有理論方法統(tǒng)一在新的框架之下。相關(guān)成果預(yù)印本日前發(fā)表于arxiv.org。

研究人員在研究成果中首次從概率論角度發(fā)展出了基于兩點(diǎn)分布的BEE。假設(shè)Ａ是任意一個(gè)僅取值于-1和1的隨機(jī)變量，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有eiAx= cos x+iA sin x。該等式是經(jīng)典BEE在概率意義下直觀的推廣。

作者進(jìn)一步將上述公式應(yīng)用于張凱于2019年發(fā)表的二進(jìn)制展開檢驗(yàn)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)框架，指出對(duì)于任意一個(gè)連續(xù)隨機(jī)向量，首先將其耦合分布的每一個(gè)維度進(jìn)行二進(jìn)制展開，再結(jié)合BEE，可以得出初始分布的特征函數(shù)的二進(jìn)制逼近（BEAUTY）。這個(gè)基于BEE的BEAUTY為當(dāng)前廣泛應(yīng)用于均勻性檢測和獨(dú)立性檢測的眾多非參數(shù)方法提供了統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，并為進(jìn)一步改進(jìn)和提高指明了方向。

在此基礎(chǔ)上，該論文進(jìn)一步構(gòu)造了基于BEAUTY的BEAST檢驗(yàn)方法。在統(tǒng)計(jì)方面，研究人員利用大量數(shù)據(jù)實(shí)證檢驗(yàn)了該方法，證明與現(xiàn)有方法相比，BEAST不僅大幅提高了檢測的一致性和穩(wěn)健性統(tǒng)計(jì)功效，而且提高了對(duì)各種復(fù)雜的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的解釋性。在計(jì)算方面，研究人員通過將觀測值轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制，使得該算法可以直接對(duì)存儲(chǔ)于機(jī)器中的數(shù)據(jù)進(jìn)行位操作，從而大幅提高了計(jì)算效率。在應(yīng)用方面，由于該檢驗(yàn)屬于不受分布限制的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，所以可以被廣泛應(yīng)用于生物、工程、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)等自然和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，為數(shù)據(jù)分析提供了有力的新工具。相關(guān)的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用軟件R語言包BET已經(jīng)發(fā)布在CRAN上，可供免費(fèi)下載使用。（唐鳳）